The універсальні константи та математика Вони утворюють дивну пару: з одного боку, у нас є фізичні числа, які ніби вписані в саму тканину космосу; з іншого боку, абстрактна конструкція теорем і доказів, для існування якої не потрібен жодний атом матерії. Коли ми запитуємо себе, чому швидкість світла, стала Планка чи гравітація є саме такими, якими вони є, ми неминуче натикаємося на питання про роль математики в реальності. В основі цього лежить глибокий сумнів: якби ми змінили фундаментальні константи ВсесвітуЧи буде та сама математика все ще актуальною? Чи можуть виникнути математичні логіки та структури, які будуть такими ж відмінними, як і фізика того іншого всесвіту? Розуміння того, що таке фізичні константи, як вони пов’язані з нашими одиницями вимірювання, які їхні частини є довільними, а які справді «природними», веде нас у подорож історією науки, філософії та сучасної космології.
Що ж таке універсальна константа насправді?
Коли фізики говорять про фізична константаВони стосуються значення величини, яка в рамках відомих нам фізичних процесів не змінюється з часом чи місцем. Швидкість світла у вакуумі, гравітаційна стала або елементарний заряд електрона є типовими прикладами: де б ви не вимірювали, на Землі чи у далекій галактиці, ви отримуєте одне й те саме число (з експериментальною точністю). Однак це значення виражається в довільні людські одиниціМетри, секунди, кілограми, кулони… Сьогодні ми використовуємо Міжнародну систему одиниць (СІ), формалізовану в 1960 році та вдосконалену з того часу, але протягом історії ми описували ті самі величини за допомогою дуже різних систем. Звідси корисність розрізнення двох понять: з одного боку, числа, які залежать від наших одиниць (наприклад, 299 792 458 м/с); з іншого, чисті, безрозмірні числа, які не змінюються, навіть якщо ми змінюємо систему одиниць. Це розмежування пов’язане з відомою ідеєю, яку приписують Ейнштейну в листі до Ільзи Розенталь-Шнайдер: існують видимі константи та дійсні константиОчевидні виникають з вибору одиниць і можуть бути «усунені» за допомогою відповідного переосмислення; справжніми були б числа, які «Бог мав обрати» під час створення Всесвіту, справжні фундаментальні параметри, що визначають, яким є все, що існує. Так звані фундаментальні константи Вони пов’язані з важливими фізичними явищами і, наскільки нам відомо, не можуть бути обчислені з інших констант. Ми можемо вимірювати їх з дедалі більшою точністю, але ми не можемо вивести їхнє значення з глибших принципів. Ця загадкова природа підживлює дискусію, яка виходить за межі фізики: чи є вони продуктом глибших законів, які ми досі не розуміємо, чи вони просто результат «кидання кубиків» у Великому вибуху?
Одиниці вимірювання, консенсус та роль констант
Перш ніж серйозно обговорювати універсальні константи, необхідно зрозуміти, що наші одиниці вимірювання Вони значною мірою є умовністю. Випадок із зондом Mars Climate Orbiter, втраченим через плутанину між метричними та імперськими одиницями, є яскравим прикладом того, наскільки дорого може коштувати неясність у цьому питанні. Протягом тривалого історичного процесу Міжнародна система одиниць з сімома основними одиницями: метр, кілограм, секунда, ампер, кельвін, моль і кандела. З них визначено десятки похідних одиниць (ньютон, джоуль, паскаль тощо), які ми використовуємо щодня. Цікаво, що багато з цих одиниць були точно перевизначені шляхом фіксації значення певних універсальних констант. Сьогодні швидкість світла у вакуумі, c, приймається як точне значення299 792 458 м/с. Це не означає, що світло «повинно» поширюватися з цією швидкістю, а радше те, що ми зафіксували його значення та визначили лічильник у спосіб, який йому відповідає. Щось подібне відбувається з постійною Планка, числом Авогадро або частотою надтонкого переходу цезію-133, яка використовується для визначення секунди. Щоб упорядкувати «зоопарк» констант, з 1966 року існує CODATA (Комісія з даних для науки і технологій)Він зібрав та рекомендує числові значення для сотень фізичних констант. Одна з його нещодавніх збірок містить близько 230 констант, але лише меншість має справді глибоку концептуальну вагу: c, G, h, стала тонкої структури, маси елементарних частинок тощо.
Деякі ключові приклади фундаментальних констант
Серед усіх констант є невелика група, яка діє як основи фізичної будівліЇхні значення включені в найбазовіші теорії та впливають на все, від структури атомів до еволюції Всесвіту. швидкість світла у вакуумі, c, приблизно 3·108 м/с. Експеримент Майкельсона-Морлі довів, що ця швидкість не залежить від руху джерела випромінювання, відкинувши гіпотезу про «ефір» як середовище поширення. Відтоді перетворення Лоренца та спеціальна теорія відносності Ейнштейна вважали c нездоланною межею для передачі інформації. універсальна гравітаційна стала, GВона фігурує в законі всесвітнього тяжіння Ньютона та в рівняннях Ейнштейна. Це, мабуть, найгірше виміряна константа з усіх: у нас є лише кілька чітко встановлених значущих цифр. Навіть попри це, ми знаємо, що гравітація — надзвичайно слабка сила порівняно з іншими взаємодіями; якби вона не завжди була привабливою та діяла у великих масштабах, ми б її ледве помітили. Постійна Планка, годВін позначає квантовий масштаб: встановлює мінімальний розмір «квантів дії» та входить до відомого співвідношення E = hν між енергією та частотою. Його значення стало настільки фундаментальним, що сьогодні воно є частиною самого визначення кілограма. Інші основні константи – це елементарний заряд e, то Постійна Больцмана k, то Число Авогадро NA O світлова віддача Kcd для монохроматичного випромінювання 540·1012 Гц. Окрім їхньої актуальності у фундаментальній фізиці, всі вони мають дуже конкретні прояви в хімії, біології, екології та технологіях: вони визначають, як організовані молекули, як живі системи обмінюються енергією або як ми калібруємо датчики та пристрої.
Видимі константи, дійсні константи та чисті числа
Не всі константи однаково важливі. Деякі, як-от Постійна БольцманаЇх можна інтерпретувати, по суті, як коефіцієнти перетворення між одиницями енергії та температури. Їх числове значення залежить від нашої системи одиниць; якщо ми змінюємо його, змінюється і число. Це «видимі константи», про які говорив Ейнштейн. справжні універсальні константи У найсуворішому сенсі це повинні бути безрозмірні, чисті числа, на які не впливає зміна одиниць вимірювання. Канонічним прикладом є константа тонкої структури αякий вимірює інтенсивність електромагнітної взаємодії. Його приблизне значення становить 1/137, а точніше, CODATA рекомендує 137.035999084. Це число не залежить від метрів чи секунд: воно однакове для будь-якої цивілізації, яка використовує будь-яку розумну систему одиниць. α поєднує тривимірні константи: постійну Планка, елементарний заряд і швидкість світла. У певному сенсі, зведені до одного числа квантова механіка (h), електромагнетизм (e) та спеціальна теорія відносності (c). Отже, фізики, такі як Фейнман, називали його «магічним числом, яке приходить до нас, не будучи зрозумілим», або Дірак описував його як «найглибшу невирішену проблему у фізиці». Інший спосіб «натуралізувати» константи — це використовувати Планківські одиниціЦі константи побудовані з c, G та h (разом із сталою Больцмана, якщо ми введемо температуру). Планківська довжина, Планківський час або Планківська маса визначають масштаби, на яких очікується, що квантова гравітація стане актуальною. На цьому масштабі наші поточні теорії втрачають силу, і ми підозрюємо, що має вступити в дію більш повний опис простору-часу. З цієї точки зору ми можемо бачити багато констант, які ми використовуємо щодня, такі як… похідні параметри кількох справді базових значень. Діелектрична проникність вільного простору, радіус Бора або стала Фарадея були б різними проявами однієї й тієї ж базової фізики, закодованої в комбінаціях основних констант.
Чи справді константи незмінні?
Захоплива частина історії фізики 20-го століття обертається навколо можлива варіація констант у просторі чи космічному часі. Це не просто гра чисел: якби будь-яка з них змінилася хоч трохи, хімія та життя, яким ми їх знаємо, могли б стати неможливими. Артур Еддінгтон, відомий, серед іншого, експериментальним підтвердженням загальної теорії відносності під час затемнення 1919 року, був одержимий ідеєю виведення значень констант із суто математичних принципів. Він намагався побудувати складні числові докази, які, граючи зі співвідношеннями між числами, «пояснювали», чому певні константи набувають спостережуваних значень. Якийсь час колеги, такі як сам Ейнштейн, ставилися до цих спроб з цікавістю, але незабаром стало зрозуміло, що Еддінгтон Він змусив математику щоб отримати бажані результати. Його побудови більше нагадували нумерологію, ніж фізику. Проте, він посіяв зерно тривоги, яке підхопили інші: підозру, що за значеннями констант можуть ховатися ще невідомі математичні структури. Поль Дірак був одним із тих, хто взяв на себе цю роль, хоча й з іншим підходом. Він помітив, що кілька комбінації фундаментальних констант Ці збіги призвели до величезних, здавалося б, пов’язаних чисел, так званих «великих чисел збігів». Це призвело його до припущення, що, можливо, не все було чистим випадком, і що за цими збігами може існувати проста математична залежність. У 1937 році Дірак опублікував статтю в журналі Nature, в якій він припустив, що гравітаційна стала G Воно могло змінюватися протягом космічного часу. Якби це було правдою, деякі константи, які ми вважаємо універсальними, насправді були б параметрами, що повільно змінюються. Цей напрямок мислення пов’язаний із сучасними ідеями, які розглядають можливість того, що певні константи справді залежать від історії Всесвіту або від ще неідентифікованих фонових полів. Спостережувальні докази варіацій констант, таких як константа тонкої структури Аналізуючи спектри далеких галактик, деякі дослідження припустили існування «бажаного напрямку» у Всесвіті, де α може приймати дещо інші значення, що прямо суперечило б принципу еквівалентності та загальній теорії відносності. Однак більшість наукової спільноти вважає наявні дані непереконливими та вважає, що ці результати можуть бути зумовлені систематичними помилками або поспішними інтерпретаціями.
Константи, життя та антропний принцип
Є один особливо делікатний аспект: чутливість життя до значень констант. Невелика зміна маси протона, заряду електрона або інтенсивності електромагнітної сили може запобігти утворенню стабільних атомів, складних молекул або ядерних процесів у зірках, таких як ті, що виробляють вуглець. Наприклад, було розраховано, що якби константа тонкої структури α змінилася лише на кілька частин на десять мільйонів, хімія, якою ми її знаємо, різко змінилася б. За оцінками, зі збільшенням лише на 4% певні ядерні реакції в зірках перестали б ефективно виробляти вуглець, що призвело б до руйнування нашої біохімії, заснованої на цьому елементі. Це очевидне «точне налаштування» змушує деяких звертатися до антропний принципТой факт, що ми можемо спостерігати Всесвіт, вже передбачає, що його константи повинні бути в межах відповідного діапазону, щоб дозволити спостерігачам. У більш надійних версіях говорять про можливий «мультивсесвіт», де різні всесвіти матимуть різні значення цих констант, і ми просто населяємо той (або ті), де життя життєздатне. Інші вчені більш обережні та вважають за краще розглядати точне налаштування як відкрита проблемаМожливо, глибша теорія, яку ще належить відкрити, обов’язково зафіксує значення цих констант, не вдаючись до множинних всесвітів чи антропних аргументів. Наразі у нас немає такої теорії, тому питання залишається повністю відкритим. У будь-якому разі, наш поточний досвід показує, що фундаментальні константи вони, здається, не відрізняються У межах досягнутих невизначеностей вимірювань, ні в нашому середовищі, ні в спостережуваному космосі. Якщо варіації існують, вони мають бути надзвичайно малими та їх важко виявити за допомогою сучасних технологій.
Куб теорій та межа планківських одиниць
Дуже ілюстративним підходом до розуміння ролі констант c, G та h є так званий куб теорійВведено Бронштейном, Гамовим, Іваненком та Ландау. Уявіть собі тривимірний куб, де кожна вісь відповідає «ввімкненню» або «вимиканню» однієї з цих фундаментальних констант у сенсі розгляду її ефектів як релевантних або незначних. Якщо ми одночасно ігноруємо гравітацію (G), теорію відносності (c) та квантову механіку (h), ми залишаємося в кутку класична механіка НьютонаЯкщо ми вмикаємо лише c, ми переходимо до спеціальної теорії відносності; якщо ми вмикаємо G без c або h, ми маємо ньютонівську гравітацію; якщо ми вмикаємо h без G або c, ми переходимо до нерелятивістської квантової механіки; і так далі, доки ми не досягнемо найповнішого кута, де всі три константи відіграють суттєву роль, і ми повинні мати повністю релятивістську теорію квантової гравітації. Планківські одиниці Вони точно позначають кут, де перетинаються ці три осі: довжини порядку 10-33 см, помножені на 10-43 і температура близько 1032 K. Вважається, що Всесвіт у перші нескінченно малі частки секунди після Великого вибуху досяг цих екстремальних умов. Після цієї точки наші сучасні теорії — загальна теорія відносності та квантова теорія поля — перестають бути надійними окремо. Отже, так багато сучасних зусиль спрямовано на формулювання теорія квантової гравітаціїЧи то через теорію струн, теорію петель, чи підходи до «подвійної» чи викривленої спеціальної теорії відносності, всі ці пропозиції намагаються розширити загальну теорію відносності в межах квантованої або дискретної структури простору-часу, в якій константи c, G та h були б об’єднані в новій концептуальній структурі. Тим часом ми живемо у Всесвіті, де загальна теорія відносності з великою точністю описує поведінку у великих масштабах — галактики, скупчення, космічне розширення — а квантова теорія поля робить те саме в мікроскопічній сфері субатомних частинок. універсальні константи діють як місток між обома крайнощами, встановлюючи шкали маси, довжини та енергії, що надають цілісності.
Математика та константи: чи є математика універсальною?
Все вищесказане повертає нас до початкового питання: якби ми змінили значення фундаментальні константиЧи залишиться математика такою ж? Щоб відповісти на це питання, корисно розрізняти два рівні: рівень абстрактних математичних структур та рівень конкретних фізичних моделей, які ми з їх допомогою будуємо. Такі основні істини, як 1 + 1 = 2 Або ж елементарні властивості арифметики (комутативність, асоціативність тощо) виводяться з дуже загальних логічних аксіом. Ці аксіоми не мають жодного відношення до протонів, електронів чи фізичних констант. З цієї точки зору, багато розділів математики здаються незалежно від фізичної реальностіМи могли б уявити собі Всесвіт з іншими константами або навіть без матерії, і докази все ще були б справедливими в рамках їхньої аксіоматичної системи. Питання полягає в тому, що Математичні структури були б доречними або «природний» у Всесвіті з іншою фізикою. У нашому Всесвіті евклідова геометрія є корисним наближенням на малих масштабах, тоді як криволінійна ріманова геометрія є фундаментальною для опису гравітації. Теорія груп симетрії є ключовою у Стандартній моделі фізики елементарних частинок. Якби фізичні закони були іншими, можливо, домінуюча геометрія була б іншою, або для опису екзотичних явищ використовувалися б інші типи логіки. У філософії математики ці дебати часто підсумовуються в таких протиставленнях, як Платонізм проти формалізмуПлатонізм стверджує, що математичні сутності існують незалежно від нас та будь-якого фізичного всесвіту; ми просто їх відкриваємо. З цієї точки зору, математика справді була б «універсальною» у сильному сенсі: будь-який інтелект у будь-якому космосі, який дотримувався б послідовних міркувань, дійшов би еквівалентних теорем. Формалізм та пов’язані з ним позиції розглядають математику радше як системи правил які ми конструюємо для організації символів. У такому випадку ті частини математики, які ми використовуємо найінтенсивніше, будуть сильно обумовлені структурою Всесвіту, в якому ми живемо. Інші інтелекти в інших всесвітах можуть розробити зовсім іншу математику, оскільки їхня фізична реальність «вимагатиме» інших концептуальних інструментів. Яку б позицію ми не займали, досвід сучасної фізики пропонує щось тривожне: математика напрочуд добре поєднується зі структурою світу. Кілька констант, вбудованих у відносно компактні рівняння, дозволяють нам описувати величезний спектр явищ, від орбіти зірки до випромінювання атома. Ця «нерозумна ефективність» математики, як назвав її Вігнер, є однією з найбільших філософських загадок науки.
Константи, людський розум і знання
Такі автори, як Макс Планк, наголошували на тому, що універсальні константи Це числа, які «не були винайдені людьми», а відкриті в природі, і будь-який розум у будь-якому куточку космосу повинен вважати їх однаковими, незалежно від використаних методів чи інструментів. Для Планка ця інваріантність була доказом того, що об’єктивна фізична реальність існує окремо від нашого розуму. Водночас той факт, що ми залежимо від констант, таких як c, G або o, для визначити наші стандарти вимірювання Це показує, наскільки наші знання переплетені з тим, чого ми не знаємо. Як підсумував Хесус Наварро у своїй книзі про універсальні константи, ці числа відображають як те, що ми розуміємо про Всесвіт, так і те, що ми досі не можемо пояснити: ми знаємо їхні значення з великою точністю, але не знаємо, звідки вони «беруться». На практиці ці константи позначають межі наших сучасних теорій. Ми знаємо, що загальна теорія відносності дуже добре працює у величезному діапазоні масштабів, але вона концептуально руйнується, коли ми наближаємося до часів, коротших за планківський час, або довжин, коротших за планківську довжину. Ми знаємо, що квантова механіка успішно описує мікроскопічний світ, але незрозуміло, як елегантно поєднати її з гравітацією в екстремальних масштабах. Тим часом видимий Всесвіт продовжує розвиватися під мовчазним керівництвом цих констант. очевидно незмінні величиниВони надають ритму космосу, забезпечують стабільність атомів і молекул, роблять можливими інформацію, хімію і, зрештою, істот, здатних ставити запитання про все це. Якщо ми колись досягнемо теорії, яка природним чином виводить значення констант, можливо, ми також відкриємо, чому певні математичні структури, а не інші, описують наш світ з такою точністю. До того часу універсальні константи залишатимуться точкою зустрічі між нашою найкраще встановленою фізикою та нашими найглибшими сумнівами щодо природи реальності та самої математики.